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Problema 1
Decimos que un conjunto finito $S$ de puntos en el plano es "equilibrado" si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $S$ hay un punto $C$ en $S$ tal que $AC=BC$. Decimos que $S$ es "libre de centros" si para cada tre puntos distintos $A,B,C$ en $S$ no existe ningún punto $P$ en $S$ tal que $PA=PB=PC$.
(a) Demostrar que para todo $n\ge 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
(b) Determinar todos los enteros $n\ge 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.
(a) Demostrar que para todo $n\ge 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
(b) Determinar todos los enteros $n\ge 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.
Problema 2
Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números
\[ab-c, \quad bc-a,\quad ca-b\]
es una potencia de 2.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\gt AC$. Sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$. Supongamos que los puntos $A,B,C,K$ y $Q$ son todos distintos y están sobre $\Gamma$ en ese orden.
Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.
Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.
Problema 4
El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Una cir- cunferencia $\Gamma$ de centro $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ tales que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos diferentes y están en la recta $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, tales que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ están sobre $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $CGE$ y el segmento $CA$.
Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demostrar que $X$ está en la recta $AO$.
Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demostrar que $X$ está en la recta $AO$.
Problema 5
Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación
\[f\left(x+f(x+y)\right)+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\]
Para todos los números reales $x$, $y$.
Problema 6
La sucesión de enteros $a_1,a_2,\dots$ satisface las siguientes condiciones:
(i) $1\leq a_j \leq 2015$ para todo $j\geq 1$;
(ii) $k+a_k\neq\ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k \lt \ell$.
Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] Para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.
(i) $1\leq a_j \leq 2015$ para todo $j\geq 1$;
(ii) $k+a_k\neq\ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k \lt \ell$.
Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] Para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.