◄ IMO 2012 ►

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se cortan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se cortan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$.
Demostrar que $M$ es el punto medio de $ST$.

Sea $n \geq 3$ un entero, y sean $a_2, a_3, \dots, a_n$ números reales positivos tales que $a_2a_3 \dots a_n = 1$. Demostrar que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\]

El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ conocidos por ambos jugadores.
Al principio del juego, el jugador $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \leq x \leq N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto, y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ de la siguiente manera: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera $k + 1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera.
Cuando $B$ haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más n enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ entonces gana $B$; en caso contrario, pierde. Demostrar que:
1. Si $n \geq 2^k$, entonces $B$ puede asegurarse la victoria.
2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \geq 1.99^k$ tal que B no puede asegurarse la victoria.

Hallar todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] Para todos los enteros $a,$ $b,$ $c$ que satisfacen $a+b+c=0$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BCA = 90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK = BC$. Análogamente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL = AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$.
Demostrar que $MK = ML$.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ tales que \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]