IMO

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sea $E$ un punto del arco $BDC$, y $F$ un punto del segmento $BC$, tal que \[\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC.\] Sea $G$ el punto medio de $IF$. Demuestre que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.