◄ IMO 2010 ►

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \] para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sea $E$ un punto del arco $BDC$, y $F$ un punto del segmento $BC$, tal que \[\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC.\] Sea $G$ el punto medio de $IF$. Demuestre que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que \[\left(g(m)+n\right)\left(m+g(n)\right)\] Es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in \mathbb{N}$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos $K$, $L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC = SP$, demuestre que $MK = ML$.

En cada una de las seis cajas $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:
Tipo 1: Elegir una caja no vacía $B_j$, con $1 \leq j \leq 5$. Retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$.
Tipo 2: Elegir una caja no vacía $B_k$, con $1 \leq k \leq 4$. Retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$.
Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ vacías y a la caja $B_6$ con exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas. (Observe que $a^{b^{c}} = a^{(b^c)}$.)

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo $s$, \[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ for all } \ n \geq N.\] para todo $n > s$. Demuestre que existen enteros positivos $\ell$ y $N$ , con $\ell \leq s$, tales que $a_n = a_{\ell} + a_{n−\ell}$ para todo $n \geq N$.