"La práctica es solo el proceso de mejorar la intuición." - Pablito

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Problema 1

Sea n un entero positivo y a1,a2,a3,…,ak enteros distintos en el conjunto {1,2,…,n} tales que n divide a ai(ai+1−1) para i=1,2,…,k−1. Muestra que n no divide a ak(a1−1).

Problema 2

Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Los puntos P y Q son puntos sobre los lados CA y AB, respectivamente. Sean K, L, y M los puntos medios de los segmentos BP, CQ, y PQ, respectivamente, y sea Γ el circuncírculo que pasa por K, L y M. Muestra que OP=OQ si PQ es tangente a Γ.

Problema 3

Sea s1,s2,s3,… una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsecuencias ss1,ss2,ss3,…yss1+1,ss2+1,ss3+1,… están ambas en progresión aritmética. Muestra que la secuencia s1,s2,s3,… está en progresión aritmética.

Problema 4

Sea ABC un triángulo con AB=AC. Las bisectrices de los ángulos ∠CAB y ∠ABC intersecan los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triángulo ADC. Si ∠BEK=45∘, encuentra todos los valores posibles del ángulo ∠CAB. Let ABC be a triangle with AB=AC . The angle bisectors of ∠CAB and ∠ABC meet the sides BC and CA at D and E , respectively. Let K be the incentre of triangle ADC. Suppose that ∠BEK=45∘ . Find all possible values of ∠CAB .

Problema 5

Encuentra todas las funciones f de los enteros positivos a los enteros positivos tales que para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado con longitud de lados a,f(b) y f(b+f(a)−1).

Problema 6

Sean a1,a2,…,an enteros positivos distintos y M un conjunto de n−1 enteros positivos que no contiene a s=a1+a2+…+an. Un saltamontes salta sobre la línea de los números reales, empezando en el 0. Hace n saltos a la derecha con longitudes a1,a2,…,an en algún orden. Muestra que el orden puede elegirse de manera que el saltamontes nunca pase por un número en M.