◄ IMO 2009 ►

Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k$ enteros distintos en el conjunto $\{ 1,2,\ldots,n\}$ tales que $n$ divide a $a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $i=1,2,\ldots,k-1$. Muestra que $n$ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $P$ y $Q$ son puntos sobre los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$, y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$, y $PQ$, respectivamente, y sea $\Gamma$ el circuncírculo que pasa por $K$, $L$ y $M$. Muestra que $OP=OQ$ si $PQ$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $s_1,s_2,s_3,\ldots$ una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsecuencias \[s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots\] están ambas en progresión aritmética. Muestra que la secuencia $s_1,s_2,s_3,\ldots$ está en progresión aritmética.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ intersecan los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Si $\angle BEK=45^\circ$, encuentra todos los valores posibles del ángulo $\angle CAB$. Let $ ABC$ be a triangle with $ AB = AC$ . The angle bisectors of $ \angle C AB$ and $ \angle AB C$ meet the sides $ B C$ and $ C A$ at $ D$ and $ E$ , respectively. Let $ K$ be the incentre of triangle $ ADC$. Suppose that $ \angle B E K = 45^\circ$ . Find all possible values of $ \angle C AB$ .

Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado con longitud de lados \[ a, f(b) \text{ y } f(b + f(a) - 1).\]

Sean $a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y $M$ un conjunto de $n-1$ enteros positivos que no contiene a $s=a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes salta sobre la línea de los números reales, empezando en el $0$. Hace $n$ saltos a la derecha con longitudes $a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. Muestra que el orden puede elegirse de manera que el saltamontes nunca pase por un número en $M$.