◄ IMO 2008 ►

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $\Gamma_{A}$ con centro sobre el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ interseca a $BC$ en los puntos $A_1$ y $A_2$. Los puntos $ B_{1}$, $ B_{2}$, $ C_{1}$ y $ C_{2}$ se definen de manera similar. Muestra que los seis puntos $ A_{1}$, $ A_{2}$, $ B_{1}$, $ B_{2}$, $ C_{1}$ y $ C_{2}$ están sobre una misma circunferencia.

• Muestra que \[\frac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \frac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq 1\] para cualesquiera números reales $x$, $y$, $z$ distintos de $1$ tales que $xyz=1$.
• Muestra que la igualdad es cierta para infinitas ternas de números racionales $x$, $y$, $z$ distintos de $1$ tales que $xyz=1$.

Muestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un primo divisor mayor a $ 2n + \sqrt {2n}$.

Encuentra todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ tales que $ wx = yz.$

Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $k\geq n$ tales que $k-n$ es par. Hay $2n$ lámparas numeradas $1,2,\dots,2n$, todas apagadas. Se puede hacer una secuencia de pasos: en cada paso una lámpara se cambia de estado (apagado a prendido o prendido a apagado).
Sea $N$ el número de secuencias de $k$ pasos tales que al final de la secuencia las lámparas $1$ a $n$ están todas prendidas, y las lámparas $n+1$ a $2n$ están todas apagadas.
Sea $M$ el número de secuencias de $k$ pasos tales que al final de la secuencia las lámparas $1$ a $n$ están todas prendidas, y las lámparas $n+1$ a $2n$ están todas apagadas, y a demás ninguna de las lámparas $n+1$ a $2n$ son prendidas durante la secuencia de pasos.
Encuentra $\frac{N}{M}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Supón que existe un círculo $\omega$ tangente a $BA$ más allá de $A$ y a $BC$ más allá de $C$, que además es tangente a $AD$ y $CD$. Muestra que las tangentes externas comunes a $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan sobre $\omega$.