◄ IMO 2007 ►

Sean $a_1, a_2, \dots a_n$ números reales. Para cada $i$, $ (1 \leq i \leq n )$, definimos \[ d_{i} = \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \} - \min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}, \] y sea $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$.

• Muestra que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n$, \[ \max \{ |x_{i} - a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac {d}{2}. \quad \quad (*) \]
• Muestra que existen números reales $x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n$ que cumplen la igualdad en $(*)$.

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ cinco puntos tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es cíclico. Sea $\ell$ una línea que pasa por $A$, interseca el interior del segmento $DC$ en $F$, e interseca a la línea $BC$ en $G$. Supón también que $EF=EG=EC$. Muestra que $\ell$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAB$.

En una competencia matemática, algunos participantes son amigos (la amistad es mutua). Llamamos a un grupo de participantes una pandilla si cualesquiera dos miembros son amigos (los grupos de 1 participante son pandillas). El número de miembros de una pandilla es su tamaño.
Si el mayor tamaño de una pandilla en la competencia es par, muestra que los participantes se pueden separar en dos habitaciones tales que el tamaño de la mayor pandilla en cada habitación es igual.

En el triángulo $ABC$, la bisectriz del ángulo $BCA$ interseca el circuncírculo de nuevo en $R$, la mediatriz de $BC$ en $P$, y la mediatriz de $AC$ en $Q$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $BC$ y $AC$, respectivamente. Muestra que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen la misma área.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que si $4ab-1$ divide a $(4a^{2} - 1)^{2}$, entonces $a=b$.

Sea $n$ un entero positivo. Sea \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \} \] un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el plano tridimensional. Encuentra el menor número de planos tales que su unión contiene a $S$ pero no a $(0,0,0)$.