◄ IMO 2006 ►

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Muestra que $AP\geq AI$, y que la igualdad se da si y sólo si $P=I$.

Sea $P$ un polígono regular de $2006$ lados. Una diagonal es buena si sus extremos dividen el borde de $P$ en dos partes, cada una compuesta de un número impar de lados de $P$. Los lados de $P$ también son buenos.
Supongamos que $P$ ha sido dividido en triángulos por $2003$ diagonales que no se intersecan dentro de $P$. Encuentra el mayor número de triángulos isósceles con dos lados buenos que podrían aparecer en dicha configuración.

Encuentra el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] es cierta para todos los números reales $a$, $b$ y $c$.

Encuentra todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n>1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$, donde $P$ se itera $k$ veces. Muestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t)=t$.

A cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ se le asigna el área máxima de un triángulo con lado $b$ contenido en $P$. Muestra que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$.