◄ IMO 2005 ►

Seis puntos se eligen en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$, $A_2$ en $BC$, $B_1$, $B_2$ en $CA$ y $C_1$, $C_2$ en $AB$, tales que son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ con lados de longitudes iguales. Muestra que las líneas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ concurren en un mismo punto.

Sea $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supón que para cada entero positivo $n$, los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tienen $n$ residuos distindos al dividirse entre $n$. Muestra que cada entero está exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Sean $x$, $y$, $z$ números reales positivos tales que $xyz\geq 1$. Muestra que \[ \frac { x^5-x^2 }{x^5+y^2+z^2} + \frac {y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac {z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0 . \]

Encuentra todos los enteros positivos que son primos relativos con todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $BC=DA$ y $BC$ no es paralela a $DA$. Sean $E$ y $F$ dos puntos que varían sobre los lados $BC$ y $DA$, respectivamente, tales que $BE=DF$. Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$, las líneas $BD$ y $EF$ se encuentran en $Q$, y las líneas $EF$ y $AC$ se encuentran en $R$. Muestra que los circuncírculos de los triángulos $PQR$ tienen un punto común distinto a $P$ sin importar la elección de $E$ y $F$.

En una competncia matemática con $6$ problemas, cualesquiera dos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ participantes. Además, ningún participante resolvió los $6$ problemas. Muestra que hay al menos dos participantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.