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Problema 1
Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$. Muestra que existen números $t_1$, $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que cualesquiera dos conjuntos de la forma \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] no comparten elementos.
Problema 2
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.
Problema 3
Cada pareja de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de las longitudes de dichos lados. Muestra que todos los ángulos del hexágono son iguales.
Problema 4
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y $P$, $Q$, $R$, $S$ los pies de perpendicular de $D$ a las líneas $BC$, $CA$, y $AB$, respectivamente. Muestra que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se intersecan sobre $AC$.
Problema 5
Sea $n$ un entero positivo y $x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$ números reales. Muestra que la siguiente desigualdad se cumple:
\[ \left(\sum_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i,j=1}^{n}(x_i-x_j)^2. \]
Muestra que la igualdad se logra si y sólo si los números $x_1, \ldots, x_n$ están en progresión aritmética.
Problema 6
Sea $p$ un número primo. Muestra que existe un primo $q$ tal que para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es múltiplo de $q$.