◄ IMO 2001 ►

Presiona el título de cualquier problema para ver su página individual.

• Regresar a IMO
• Regresar a la página de inicio

Problema 1

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$, y $P$ el pie de altura de $A$ a $BC$. Si $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$, muestra que $\angle A+\angle COP \lt 90^{\circ}$.

Problema 2

Muestra que para cualesquiera reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que \[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

$21$ niñas y $21$ niños participaron en un concurso matemático. Sucedió que cada participante resolvió a lo más seis problemas, y para cada pareja de niña-niño, hubo al menos un problema resuelto por ambos. Muestra que hubo un problema que fue resuelto por al menos tres niñas y al menos tres niños.

Problema 4

Sea $n$ un entero impar mayor a $1$ y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, definimos $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$. Muestra que existen permutaciones distintas $a$ y $b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es divisor de $S(a)-S(b)$.

Problema 5

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 60 ^\circ$. Sea $AP$ la bisectriz de $\angle BAC$ y $BQ$ la bisectriz de $\angle ABC$, con $P$ sobre $BC$ y $Q$ sobre $AC$. Si $AB+BP=AQ+BQ$, encuentra los ángulos de $ABC$.

Problema 6