◄ IMO 2000 ►

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en los puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la línea tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, tal que $M$ está entre $N$ y $AB$. Sea $CD$ la línea paralela a $AB$ que pasa por el punto $M$, con $C$ en $\Gamma_1$ y $D$ en $\Gamma_2$. Las líneas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$, las líneas $AN$ y $CD$ se cortan en $P$, y las líneas $BN$ y $CD$ se cortan en $Q$. Muestra que $EP=EQ$.

Sean $a$, $b$, $c$ reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \]

Sea $n\geq 2$ un entero positivo y $\lambda$ un real positivo. Inicialmente hay $n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como elegir dos pulgas en puntos $A$ y $B$ (con $A$ a la izquierda de $B$), y hacer que la pulga en $A$ salte sobre la pulga $B$ al punto $C$ tal que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$. Encuentra todos los valores de $\lambda$ tales que para cualquier punto $M$ en la línea y cualquier posición inicial de las pulgas, existe una secuencia de movimientos que llevará a todas las pulgas a la derecha de $M$.

Un mago tiene $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$. Las coloca dentro de tres cajas, una roja, una azul y una blanca, de manera que cada caja contiene al menos una carta. Un miembro de la audiencia elige dos cartas de dos cajas diferentes y anuncia la suma de los números escritos en ellas. Después, el mago encuentra la caja de la que no se tomó ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar las cartas en las cajas para que el truco siempre funcione?

¿Existe un entero positivo $n$ que tiene $2000$ divisores primos y divide a $2^n+1$?

Sean $ AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Su incírculo toca a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en $T_1$, $T_2$ y $T_3$, respectivamente. Considera las imágenes simétricas de las líneas $ H_1H_2, H_2H_3$ y $ H_3H_1$ con respecto a las líneas $ T_1T_2, T_2T_3$ y $ T_3T_1$. Muestra que estas imágenes crean un triángulo cuyos vértices caen sobre el incírculo de $ABC$.