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Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC < AB$ y $BC < AC$. Considere los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $P \neq B$, $Q \neq C$ y $BQ = BC = CP$. Sea $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Pruebe que los puntos $T$, $H$ y $S$ están en una misma recta.

Sea $\mathbb N = \{1, 2, 3, . . .\}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb N \to \mathbb N$ tales que para cualquier pareja de enteros positivos $a$ y $b$, se cumplen las siguientes dos condiciones:

• $f(ab) = f(a)f(b)$, y
• al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a + b)$ son iguales.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ es húngara si

• $a_1$ es un cuadrado perfecto, y
• para todo entero $n\ge 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1+(n-1)a_2+\dots+2a_{n-1}+a_n\] es un cuadrado perfecto.

Pruebe que si $a_1, a_2, \dots$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.

Para cada entero positivo $n \ge 2$, determine el mayor entero positivo $N$ con la propiedad de que existen $N +1$ números reales $a_0,a_1,\dots,a_N$ tales que

• $a_0+a_1=-\frac 1n$, y
• $(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$ para todo $1\leq k \leq N-1$.

Dados $n$ y $k$ enteros positivos, sea $f(n,2k)$ el número de formas en que un tablero de tamaño $n \times 2k$ puede ser completamente cubierto por $nk$ fichas de dominó de tamaño $2 \times 1$ (por ejemplo, $f(2,2) = 2$ y $f(3,2) = 3$). Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que para todo entero positivo $k$, el número $f(n,2k)$ es impar.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$; y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Suponga que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos.
Pruebe que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencias.