EGMO

Determine si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos. Nota: la expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera (o piso) del número real $x$. Por ejemplo, $\lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1$, $\lfloor \pi \rfloor = 3$, $\lfloor 42 \rfloor = 42$ y $\lfloor 0 \rfloor = 0$.