◄ EGMO 2021 ►

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto $\{m, 2m + 1, 3m\}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^{2021}$ es fantabuloso?

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(xf(x)+y) = f(y) + x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ y $y$. Nota: $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de todos los números racionales.

Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E$, $F$ , $M$ y $N$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $BI$ interseca a $CI$ en el punto $E$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $CI$ interseca a $BI$ en el punto $F$. Demuestre que la reflexión de $A$ sobre la recta $EF$ está en la recta $BC$.

Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano que cumple las siguientes dos condiciones: (i) no hay tres puntos de $P$ sobre una misma recta, (ii) no hay dos puntos de $P$ sobre una misma recta que pasa por el origen. Se dice que un triángulo con vértices en $P$ es gordo si $O$ es un punto interior de dicho triángulo. Encuentre la mayor cantidad de triángulos gordos que puede haber.

Determine si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos. Nota: la expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera (o piso) del número real $x$. Por ejemplo, $\lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1$, $\lfloor \pi \rfloor = 3$, $\lfloor 42 \rfloor = 42$ y $\lfloor 0 \rfloor = 0$.