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Sean $a_0, a_1, a_2, \dots , a_{3030}$ enteros positivos tales que \[2a_{n + 2} = a_{n + 1} + 4a_n \text{ para todo } n = 0, 1, 2, \ldots, 3028.\] Demuestre que al menos uno de los enteros $a_0, a_1, a_2, \dots , a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Encontrar todas las listas $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ de números reales no negativos tales que se satisfagan las tres condiciones siguientes: $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2020}$; $\qquad$ $x_{2020} \le x_1 + 1$; $\qquad$ Existe una permutación $(y_1, y_2, \ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ tal que \[\sum_{I = 1}^{2020} ((x_i + 1)(y_i + 1))^2 = 8 \sum_{i = 1}^{2020} x_i^3\] Una permutación de una lista es una lista de la misma longitud, con los mismos elementos pero en un orden cualquiera. Por ejemplo, $(2, 1, 2)$ es una permutación de $(1, 2, 2)$, y ambas son permutaciones de $(2, 2, 1)$. En particular cualquier lista es una permutación de ella misma.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A = \angle C = \angle E$ y $\angle B = \angle D = \angle F$. Además, las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A, \angle C$ y $\angle E$ son concurrentes. Demuestre que las bisectrices interiores de los ángulos $\angle B, \angle D$ y $\angle F$ también son concurrentes. La notación $\angle A$ hace referencia al ángulo $\angle FAB$. Lo mismo se aplica a los otros ángulos del hexágono.

Una permutación de los enteros $1, 2, \dots , m$ se llama fresca si no existe ningún entero positivo $k \lt m$ tal que los primeros $k$ elementos de la permutación son los números $1, 2, \dots , k$ en algún orden. Sea $f_m$ el número de permutaciones frescas de los enteros $1, 2, \dots , m.$ Muestra que \[f_n \ge n \cdot f_{n-1}\] para todo $n \ge 3$. Por ejemplo, para $m = 4$ la permutación $(3, 1, 4, 2)$ es fresca, mientras que la permutación $(2, 3, 1, 4)$ no lo es.

Considere el triángulo $ABC$ con $\angle BCA \gt 90^{\circ}$. Sea $R$ el radio del circuncírculo $\Gamma$ de $ABC$. En el segmento $AB$ existe un punto $P$ con $PB = PC$ tal que la longitud de $PA$ es igual a $R$. La mediatriz de $PB$ corta a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$. Demuestre que $P$ es el incentro del triángulo $CDE$.

Sea $m \gt 1$ un entero. Se define una sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ como $a_1 = a_2 = 1$, $a3 = 4$, y para todo $n \ge 4$, \[a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.\] Determine todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión es un cuadrado perfecto.