EGMO

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de éstas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos: (i) uno de los $4038$ puntos extremos de las cuerdas; o (ii) un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas. Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos del tipo (i), $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Ella etiqueta cada punto del tipo (ii) con un entero arbitrario, no necesariamente positivo. En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k - 1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de estos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absoluto de su diferencia. Alina se da cuenta que los $N + 1$ números amarillos son exactamente los números $0, 1,\dots , N$. Muestre que al menos uno de los números azules es múltiplo de tres. Nota: Una cuerda es el segmento de recta que une dos puntos distintos en una circunferencia.