◄ EGMO 2019 ►

Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b + c = b^2c + a = c^2a + b.\]

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n \times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada n, determine la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera. Nota: Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Los dominós son colocados en el tablero de manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero y los dominós no se superponen (no se traslapan). Decimos que dos casillas son adyacentes si son diferentes y tienen un lado en común.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB \gt \angle ABC$, y sea $I$ su incentro. Sea $D$ el punto en el segmento $BC$ tal que $\angle CAD = \angle ABC$. Sea $\gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $A$. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\gamma$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Muestre que las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle CXB$ se intersecan en un punto de la recta $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AB$ por segunda vez en $P$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AC$ por segunda vez en $Q$. Muestre que $PQ$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$.

Sea $n \geq 2$ un número entero, y sean $a_1, a_2, \dots , a_n$ enteros positivos. Muestre que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones: $a_i \le b_i$ para todo $i = 1, 2, \dots , n$; los residuos de $b_1, b_2, \dots , b_n$ al dividirlos entre $n$ son todos diferentes; y \[b_1+b_2+\cdots b_n \le n\left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}\right \rfloor \right)\] Nota: Denotamos por $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, es decir, al mayor entero que es menor o igual a $x$.

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de éstas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos: (i) uno de los $4038$ puntos extremos de las cuerdas; o (ii) un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas. Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos del tipo (i), $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Ella etiqueta cada punto del tipo (ii) con un entero arbitrario, no necesariamente positivo. En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k - 1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de estos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absoluto de su diferencia. Alina se da cuenta que los $N + 1$ números amarillos son exactamente los números $0, 1,\dots , N$. Muestre que al menos uno de los números azules es múltiplo de tres. Nota: Una cuerda es el segmento de recta que une dos puntos distintos en una circunferencia.