EGMO

(a) Demuestre que para todo número real $t$ tal que $0 \lt t \lt \frac12$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que \[\left|x - my\right| \leq ty.\] (b) Determine si para todo número real $t$ con $0 \lt t \lt \frac12$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que \[\left|x - my\right| \gt ty.\] para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.