EGMO

Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Sea $n \ge 3$ un entero. Se ponen dominós en un tablero de $n \times n$ casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse). El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna. Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero $k \ge 1$ tal que cada fila y cada columna tiene valor $k$. Demuestre que existe una configuración balanceada para cada $n \ge 3$, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.