EGMO

Considere el conjunto \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\] (a) Muestra que todo entero $x \ge 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos. (b) Para todo entero $x \ge 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de $A$, no necesariamente distintos. Demuestre que existen infinitos pares $(x, y)$ de enteros con $x \ge 2$, $y \ge 2$, tales que \[f (xy) \lt f (x) + f (y).\] Nota: Los pares $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ son diferentes si $x_1 \neq x_2$ o $y_1 \neq y_2$.