◄ EGMO 2018 ►

Sea $ABC$ un triángulo con $CA = CB$ y $\angle ACB = 120^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto variable de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP = 2 QC$. Se sabe que la recta que pasa por $P$ y que es perpendicular a la recta $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un único punto $N $. Muestra que existe una circunferencia fija tal que $N$ se encuentra en dicha circunferencia para todas las posibles posiciones de $P$.

Considere el conjunto \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\] (a) Muestra que todo entero $x \ge 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos. (b) Para todo entero $x \ge 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de $A$, no necesariamente distintos. Demuestre que existen infinitos pares $(x, y)$ de enteros con $x \ge 2$, $y \ge 2$, tales que \[f (xy) \lt f (x) + f (y).\] Nota: Los pares $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ son diferentes si $x_1 \neq x_2$ o $y_1 \neq y_2$.

Las $n$ concursantes de cierta EGMO se llaman $C_1, \dots , C_n$. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas: El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila. Cada minuto, el Jurado escoge un entero $i$ con $1 \le i \le n$. – Si la concursante $C_i$ tiene al menos otras $i$ concursantes delante de ella, le paga una moneda al Jurado y se mueve exactamente $i$ posiciones adelante en la fila. – Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina. (a) Muestra que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado. (b) Determine para cada $n$ el máximo número de monedas que el Jurado puede recolectar escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.

Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Sea $n \ge 3$ un entero. Se ponen dominós en un tablero de $n \times n$ casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse). El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna. Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero $k \ge 1$ tal que cada fila y cada columna tiene valor $k$. Demuestre que existe una configuración balanceada para cada $n \ge 3$, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Una circunferencia $\Omega$ es tangente al segmento $AB$ y tangente a $\Gamma$ en un punto situado al mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\angle BCA$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestre que $\angle ABP = \angle QBC$.

(a) Demuestre que para todo número real $t$ tal que $0 \lt t \lt \frac12$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que \[\left|x - my\right| \leq ty.\] (b) Determine si para todo número real $t$ con $0 \lt t \lt \frac12$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que \[\left|x - my\right| \gt ty.\] para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.