Sea $ABC$ un triángulo con $CA=CB$ y $\mathrm{\angle }ACB={120}^{\circ }$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto variable de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP=2QC$. Se sabe que la recta que pasa por $P$ y que es perpendicular a la recta $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un único punto $N$. Muestra que existe una circunferencia fija tal que $N$ se encuentra en dicha circunferencia para todas las posibles posiciones de $P$.

Considere el conjunto $$A=\{1+\frac{1}{k}:k=1,2,3,4,\cdots \}.$$ (a) Muestra que todo entero $x\ge 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos. (b) Para todo entero $x\ge 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de $A$, no necesariamente distintos. Demuestre que existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros con $x\ge 2$, $y\ge 2$, tales que $$f(xy)<f(x)+f(y).$$ Nota: Los pares $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son diferentes si $x_1\ne x_2$ o $y_1\ne y_2$.

Las $n$ concursantes de cierta EGMO se llaman $C_1,\dots ,C_n$. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas: El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila. Cada minuto, el Jurado escoge un entero $i$ con $1\le i\le n$. – Si la concursante $C_i$ tiene al menos otras $i$ concursantes delante de ella, le paga una moneda al Jurado y se mueve exactamente $i$ posiciones adelante en la fila. – Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina. (a) Muestra que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado. (b) Determine para cada $n$ el máximo número de monedas que el Jurado puede recolectar escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.

Un dominó es una ficha de $1\times 2$ o de $2\times 1$ cuadrados unitarios. Sea $n\ge 3$ un entero. Se ponen dominós en un tablero de $n\times n$ casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse). El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna. Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero $k\ge 1$ tal que cada fila y cada columna tiene valor $k$. Demuestre que existe una configuración balanceada para cada $n\ge 3$, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Sea $\mathrm{\Gamma }$ la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Una circunferencia $\mathrm{\Omega }$ es tangente al segmento $AB$ y tangente a $\mathrm{\Gamma }$ en un punto situado al mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\mathrm{\angle }BCA$ interseca a $\mathrm{\Omega }$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestre que $\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }QBC$.

(a) Demuestre que para todo número real $t$ tal que $0<t<\frac{1}{2}$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que $$|x-my|\le ty.$$ (b) Determine si para todo número real $t$ con $0<t<\frac{1}{2}$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que $$|x-my|>ty.$$ para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.