EGMO

Encuentra el menor número entero positivo $k$ para el que existe una coloración de los enteros positivos $\mathbb{Z}_{>0}$ con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{\gt 0}$ a $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con las dos propiedades siguientes: $(i)$ Para todos los enteros positivos $m,n$ del mismo color, $f(m+n)=f(m)+f(n).$ $(ii)$ Hay enteros positivos $m,n$ tales que $f(m+n)\neq f(m)+f(n).$ En una coloración de $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con $k$ colores, cada entero está coloreado exactamente en uno de los $k$ colores. Tanto en $(i)$ como en $(ii)$ los enteros positivos $m,n$ no son necesariamente distintos.