◄ EGMO 2017 ►

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ y $\angle ABC \gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD,$ respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S,$ respectivamente. Se sabe que $PQ = RS.$ Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR.$ Demuestra que los puntos $M$, $N $, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.

Encuentra el menor número entero positivo $k$ para el que existe una coloración de los enteros positivos $\mathbb{Z}_{>0}$ con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{\gt 0}$ a $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con las dos propiedades siguientes: $(i)$ Para todos los enteros positivos $m,n$ del mismo color, $f(m+n)=f(m)+f(n).$ $(ii)$ Hay enteros positivos $m,n$ tales que $f(m+n)\neq f(m)+f(n).$ En una coloración de $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con $k$ colores, cada entero está coloreado exactamente en uno de los $k$ colores. Tanto en $(i)$ como en $(ii)$ los enteros positivos $m,n$ no son necesariamente distintos.

Se consideran $2017$ rectas en el plano tales que no hay tres de ellas que pasen por el mismo punto. La hormiga Turbo se coloca en un punto de una recta (distinto de los puntos de intersección) y empieza a moverse sobre las rectas de la siguiente manera: se mueve en la recta en la que está hasta que llega al primer punto de intersección, ahí cambia de recta torciendo a la izquierda o a la derecha, alternando su elección en cada intersección a la que llega. Turbo solo puede cambiar de dirección en los puntos de intersección. ¿Puede existir un segmento de recta por el cual la hormiga viaje en ambos sentidos?

Sea $n \ge 1$ un entero y sean $t_1 \lt t_2 \lt \dots \lt t_n$ enteros positivos. En un grupo de $t_n + 1$ personas, se juegan algunas partidas de ajedrez. Dos personas pueden jugar entre sí a lo más una vez. Demuestra que es posible que las siguientes dos condiciones se den al mismo tiempo: (i) El número de partidas jugadas por cada persona es uno de los números $t_1, t_2, . . . , t_n$. (ii) Para cada $i$ con $1 \le i le n$, hay al menos una persona que juega exactamente $t_i$ partidas de ajedrez.

Sea $n \ge 2$ un entero. Una $n$-tupla $(a_1, a_2, \dots , a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.\] a) Encuentra todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe una $n$-tupla costosa. b) Demuestra que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n \geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-tupla costosa.

Sea ABC un triángulo acutángulo que no tiene dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del gravicentro $G$ y el circuncentro $O$ de $ABC$ con respecto a los lados $BC$, $CA$, $AB$ se denotan como $G_1, G_2, G_3$, y $O_1, O_2, O_3$, respectivamente. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $G_1G_2C, G_1G_3B, G_2G_3A, O_1O_2C, O_1O_3B, O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común.