"La práctica es solo el proceso de mejorar la intuición." - Pablito

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Problema 1

Sean n un entero positivo impar, y x1,…,xn números reales no negativos. Muestra que mini=1,…,n(xi2+xi+12)≤maxj=1,…,n(2xjxj+1) donde xn+1=x1.

Problema 2

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico, y X la intersección de las diagonales AC y BD. Sean C1, D1 y M los puntos medios de los segmentos CX, DX y CD, respectivamente. Las rectas AD1 y BC1 se intersecan en Y , la recta MY interseca a las diagonales AC y BD en dos puntos distintos, que llamamos respectivamente E y F . Demostrar que la recta XY es tangente a la circunferencia que pasa por E, F y X.

Problema 3

Sea m un entero positivo. Se considera un tablero de 4m×4m casillas cuadradas. Dos casillas diferentes están relacionadas si pertenecen ya sea a la misma fila o a la misma columna. Ninguna casilla está relacionada con ella misma. Algunas casillas se colorean de azul de tal manera que cada casilla está relacionada con al menos dos casillas azules. Determinar el mínimo número de casillas azules.

Problema 4

Dos circunferencias ω1 y ω2 del mismo radio se intersecan en dos puntos distintos X1 y X2. Se considera una circunferencia ω tangente exteriormente a ω1 en un punto T1, y tangente interiormente a ω2 en un punto T2. Demostrar que las rectas X1T1 y X2T2 se intersecan en un punto que pertenece a ω.

Problema 5

Sean k y n enteros tales que k≥2 y k≤n≤2k−1. Se ponen piezas rectangulares, cada una de tamaño 1×k ó k×1, en un tablero de n×n casillas cuadradas, de forma que cada pieza cubra exactamente k casillas del tablero y que no haya dos piezas superpuestas. Se hace esto hasta que no se puedan colocar más piezas. Para cada n y k que cumplen las condiciones anteriores, determinar el mínimo número de piezas que puede contener dicho tablero.

Problema 6

Sea S el conjunto de todos los enteros positivos n tales que n4 tiene un divisor en el conjunto {n2+1,n2+2,…,n2+2n}. Demostrar que hay infinitos elementos en S de cada una de las formas 7m,7m+1,7m+2,7m+5 y 7m+6, pero S no contiene elementos de la forma 7m+3 y 7m+4, para m entero.