EGMO

Sean $n$ y $m$ enteros mayores a $1$, y sean $a_1, a_2, \dots , a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_m$ menores o iguales a $n$, tales que \[mcd(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_m + b_m) \lt n,\] donde $mcd(x_1, x_2, \dots , x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1, x_2, \dots , x_m$.