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Problema 1
Sea $\bigtriangleup ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La
bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\bigtriangleup ADE$ en $F$. Si
$\angle ADF = 45^{\circ}$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.
Problema 2
Una ficha de dominó es de $2 \times 1$ o de $1 \times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas
maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de
tamaño $2n \times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2 \times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios
sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.
Problema 3
Sean $n$ y $m$ enteros mayores a $1$, y sean $a_1, a_2, \dots , a_m$ enteros positivos menores o
iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_m$ menores o iguales a $n$, tales que
\[mcd(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_m + b_m) \lt n,\]
donde $mcd(x_1, x_2, \dots , x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1, x_2, \dots , x_m$.
Problema 4
Determina si existe una sucesión infinita $a_1, a_2, a_3, \dots$ de enteros positivos que satisface
la igualdad
\[a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_{n}} \]
para todo entero positivo $n$.
Problema 5
Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m \gt 1$. Anastasia particiona el conjunto de enteros
$1, 2, \dots , 2m$ en $m$ parejas. Luego Boris escoge un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos.
Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma
sea igual a $n$.
Problema 6
Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\bigtriangleup ABC$, con $AB \neq AC$.
La línea $AG$ intersecta al circuncírculo de $\bigtriangleup ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ sobre la línea
$BC$. Demuestra que $\angle CAB = 60^{\circ}$ si y solo si $HG = GP'$.