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Problema 1
Determina todos los números reales t tales que si , , son las longitudes de los lados
de un triángulo no degenerado, entonces son también las longitudes de los
lados de un triángulo no degenerado.
Problema 2
Sean y puntos en los lados y de un triángulo , respectivamente, y
tales que . Sean el punto de intersección de las rectas y , el incentro del
triángulo , el ortocentro del triángulo y el punto medio del arco del circuncírculo
del triángulo . Demuestra que , y son colineales.
Problema 3
Denotamos por el número de divisores positivos de un entero positivo , y por
el número de primos distintos que dividen a . Sea k un entero positivo. Demuestra que hay
una infinidad de enteros positivos tales que y no divide a para todos los enteros positivos y tales que .
Problema 4
Encuentra todos los enteros para los cuales existen enteros que
satisfacen la siguiente condición: si , con y divisible entre , entonces
.
Problema 5
Sea un entero positivo. Se tienen cajas y cada caja contiene un número no negativo
de fıchas. Un movimiento consiste en tomar dos fıchas de una de las cajas, dejar una fuera de las
cajas y poner la otra en otra caja. Decimos que una configuración de fıchas es resoluble si es posible
aplicar un número finito de movimientos (que puede ser igual a cero) para obtener una configuración
en la que no haya cajas vacías. Determinar todas las configuraciones iniciales de fıchas que no son
resolubles y se vuelven resolubles al agregar una fıcha en cualquiera de las cajas (sin importar en cual
caja se pone la fıcha).
Problema 6
Determina todas las funciones que satisfacen
para todos números reales y .