"La práctica es solo el proceso de mejorar la intuición." - Pablito

EGMO 2014

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Problema 1

Determina todos los números reales t tales que si a, b, c son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces a2+bct,b2+cat,c2+abt son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.

Problema 2

Sean D y E puntos en los lados AB y AC de un triángulo ABC, respectivamente, y tales que DB=BC=CE. Sean F el punto de intersección de las rectas CD y BE, I el incentro del triángulo ABC, H el ortocentro del triángulo DEF y M el punto medio del arco BAC del circuncírculo del triángulo ABC. Demuestra que I, H y M son colineales.

Problema 3

Denotamos por d(m) el número de divisores positivos de un entero positivo m, y por ω(m) el número de primos distintos que dividen a m. Sea k un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos n tales que ω(n)=k y d(n) no divide a d(a2+b2) para todos los enteros positivos a y b tales que a+b=n.

Problema 4

Encuentra todos los enteros n2 para los cuales existen enteros x1,x2,,xn1 que satisfacen la siguiente condición: si 0<i<n, 0<j<n con ij y 2i+j divisible entre n, entonces xi<xj .

Problema 5

Sea n un entero positivo. Se tienen n cajas y cada caja contiene un número no negativo de fıchas. Un movimiento consiste en tomar dos fıchas de una de las cajas, dejar una fuera de las cajas y poner la otra en otra caja. Decimos que una configuración de fıchas es resoluble si es posible aplicar un número finito de movimientos (que puede ser igual a cero) para obtener una configuración en la que no haya cajas vacías. Determinar todas las configuraciones iniciales de fıchas que no son resolubles y se vuelven resolubles al agregar una fıcha en cualquiera de las cajas (sin importar en cual caja se pone la fıcha).

Problema 6

Determina todas las funciones f:RR que satisfacen f(y2+2xf(y)+f(x)2)=(y+f(x))(x+f(y)) para todos números reales x y y.