◄ EGMO 2014 ►

Determina todos los números reales t tales que si $a$, $b$, $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces $a^2 + bct, b^2 + cat, c^2 + abt$ son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.

Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, y tales que $DB = BC = CE$. Sean $F$ el punto de intersección de las rectas $CD$ y $BE$, $I$ el incentro del triángulo $ABC$, $H$ el ortocentro del triángulo $DEF$ y $M$ el punto medio del arco $BAC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$. Demuestra que $I$, $H$ y $M$ son colineales.

Denotamos por $d(m)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $m$, y por $\omega(m)$ el número de primos distintos que dividen a $m$. Sea k un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $\omega(n) = k$ y $d(n)$ no divide a $d(a^2 + b^2)$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a + b = n$.

Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ para los cuales existen enteros $x_1, x_2, \dots , x_{n-1}$ que satisfacen la siguiente condición: si $0 \lt i \lt n$, $0 \lt j \lt n$ con $i \neq j$ y $2i + j $ divisible entre $n$, entonces $x_i \lt x_j$ .

Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ cajas y cada caja contiene un número no negativo de fıchas. Un movimiento consiste en tomar dos fıchas de una de las cajas, dejar una fuera de las cajas y poner la otra en otra caja. Decimos que una configuración de fıchas es resoluble si es posible aplicar un número finito de movimientos (que puede ser igual a cero) para obtener una configuración en la que no haya cajas vacías. Determinar todas las configuraciones iniciales de fıchas que no son resolubles y se vuelven resolubles al agregar una fıcha en cualquiera de las cajas (sin importar en cual caja se pone la fıcha).

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[f (y^2 + 2xf (y) + f (x)^2) = (y + f (x))(x + f (y))\] para todos números reales $x$ y $y$.