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El lado $BC$ del triángulo $ABC$ se prolonga más allá de $C$ hasta $D$ de modo que $CD = BC$. El lado $CA$ se prolonga más allá de $A$ hasta $E$ de modo que $AE = 2CA$. Demostrar que, si $AD=BE$, el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Determine todos los enteros $m$ para los que el cuadrado $m \times m$ se puede diseccionar en cinco rectángulos, cuyas longitudes de los lados son los enteros $1,2,3,\ldots,10$ en algún orden.

Sea $n$ un entero positivo. (a) Demostrar que existe un conjunto $S$ de $6n$ enteros positivos diferentes entre sí, tal que el mínimo común múltiplo de dos elementos cualesquiera de $S$ no es mayor que $32n^2$. (b) Demostrar que todo conjunto $T$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares contiene dos elementos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ para los que hay tres enteros consecutivos en los que el polinomio \[ P(n) = \frac{n^5+a}{b} \] toma valores enteros.

Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La circunferencia $\omega$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$, y es internamente tangente a la circunferencia $\Omega$ en el punto $P$. Una recta paralela a $AB$ que corta el interior del triángulo $ABC$ es tangente a $\omega$ en $Q$. Demostrar que $\angle ACP = \angle QCB$.

Blancanieves y los siete enanos viven en su casa del bosque. En cada uno de $16$ días consecutivos, algunos de los enanos trabajaron en la mina de diamantes mientras los restantes recogían bayas en el bosque. Ningún enano realizó ambos tipos de trabajo el mismo día. En dos días diferentes (no necesariamente consecutivos), al menos tres enanos realizaron cada uno ambos tipos de trabajo. Además, el primer día, los siete enanos trabajaron en la mina de diamantes. Demuestra que, en uno de estos $16$ días, los siete enanos estuvieron recogiendo bayas.