EGMO 2012 ►

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D,E,F$ se encuentran en los interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. (Por interior entendemos, por ejemplo, que el punto $D$ se encuentra en la recta $BC$ y $D$ está entre $B$ y $C$ en dicha recta). Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demostrar que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.

Sea $n$ un entero positivo. Encontrar el mayor entero posible $m$, en términos de $n$, con la siguiente propiedad: una cuadrícula con $m$ filas y $n$ columnas puede llenarse con números reales de tal manera que para dos filas diferentes $\left[ {{a_1},{a_2},\ldots,{a_n}}\right]$ y $\left[ {{b_1},{b_2},\ldots,{b_n}} \right]$ se cumple lo siguiente: \[\max\left( {\left| {{a_1} - {b_1}} \right|,\left| {{a_2} - {b_2}} \right|,...,\left| {{a_n} - {b_n}} \right|} \right) = 1\]

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f\left( {yf(x + y) + f(x)} \right) = 4x + 2yf(x + y)\] para todo $x,y\in\mathbb{R}$.

Un conjunto $A$ de enteros se denomina de "suma completa" si $A \subseteq A + A$, es decir, cada elemento $a \in A$ es la suma de algún par de elementos $b,c \in A$ (no necesariamente diferentes). Se dice que un conjunto $A$ de enteros es "libre de suma cero" si $0$ es el único entero que no puede expresarse como la suma de los elementos de un subconjunto finito no vacío de $A$. ¿Existe un conjunto de suma completa libre de suma cero?

Los números $p$ y $q$ son primos y satisfacen \[\frac{p}{{p + 1}} + \frac{{q + 1}}{q} = \frac{{2n}}{{n + 2}}\] para algún entero positivo $n$. Encontrar todos los valores posibles de $q-p$.

Hay infinitas personas registradas en la red social Mugbook. Algunas parejas de usuarios (diferentes) están registradas como amigos, pero cada persona sólo tiene un número finito de amigos. Cada usuario tiene al menos un amigo. (La amistad es mutua; es decir, si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$). Cada persona debe designar a uno de sus amigos como su mejor amigo. Si $A$ designa a $B$ como su mejor amigo, entonces (por desgracia) no se deduce que $B$ designe necesariamente a $A$ como su mejor amigo. A alguien designado como mejor amigo se le llama mejor amigo $1$. En términos más generales, si $n\gt 1$ es un número entero positivo, entonces un usuario es un $n$-mejor amigo siempre que haya sido designado como mejor amigo de alguien que sea un $(n-1)$-mejor amigo. Alguien que es un $k$-mejor amigo para cada entero positivo $k$ se llama popular. (a) Demuestre que toda persona popular es el mejor amigo de una persona popular. (b) Demuestre que si la gente puede tener infinitos amigos, entonces es posible que una persona popular no sea el mejor amigo de una persona popular.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $K$ un punto de $\Gamma$ en el otro lado de $BC$ desde $A$. Sea $L$ la reflexión de $K$ en la recta $AB$, y sea $M$ la reflexión de $K$ en la recta $BC$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con la circunferencia del triángulo $BLM$. Demostrar que las rectas $KH$, $EM$ y $BC$ son concurrentes.

Una palabra es una secuencia finita de letras de algún alfabeto. Una palabra es repetitiva si es una concatenación de al menos dos subpalabras idénticas (por ejemplo, $ababab$ y $abcabc$ son repetitivas, pero $ababa$ y $aabb$ no lo son). Demostrar que si una palabra tiene la propiedad de que el intercambio de dos letras adyacentes cualquiera hace que la palabra sea repetitiva, entonces todas sus letras son idénticas. (Nótese que se pueden intercambiar dos letras adyacentes idénticas, dejando la palabra sin cambios).